scholar_vit: (knot)

Использование векторной алгебры позволяет многие задачи синтетической геометрии решать "автоматически". Вместо нетривиальных рассуждений ad hoc мы тупо пишем уравнения, упрощаем и получаем ответ. Что, возможно, и не так красиво, зато эффективно. Аналогично можно сравнить школьную алгебру и школьную арифметику образца 19 века (последнюю уже и не преподают толком в обычной школе: зачем, если все эти задачи про купцов и цыбики чая значительно упрощаются с введением иксов и игреков?).

Мне иногда кажется, что применение теоремы Байеса позволяет аналогичным образом "автоматизировать" многие задачи элементарной теории вероятностей. В качестве иллюстрации я приведу два решения одной задачи: классическое и байесовское.

Задача взята в фейсбуке Кости Кнопа; так как в комментариях уже есть ответы, я позволю себе привести тут решение - точнее, два решения.

Задача

Два мальчика (логическая задача)

Вы наверняка слыхали про вероятностную задачу "У мистера Брауна два ребенка, хотя бы один из них мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка - мальчики". Классика. Ответ в ней 1/3, если вдруг кто позабыл. [Для дотошных и въедливых. Рассматриваются все семьи с двумя детьми, среди которых есть хотя бы один мальчик. Какую долю из них составляют семьи с двумя мальчиками?]

А теперь - намного менее известная вариация (придуманная 3-4 года назад). "У мистера Грина два ребенка. Один из них - мальчик, родившийся в среду. Какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?"

При решении этой задачи вероятность рождения детей в каждый день недели следует считать одинаковой, вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми, рождением близнецов пренебречь и т.п. В общем - чистая логика и чистый теорвер.

Прежде чем решать, попробуйте прикинуть ответ, а потом сравните свою прикидку с ответом, полученным вами в результате вычислений. Ну и поделитесь результатами прикидок, пожалуйста.

Я буду рассматривать ниже "неделю" из k дней. При k=1 мы получаем задачу про мистера Брауна, при k=7 - про мистера Грина, при k=365 - задачу "По крайней мере один из детей мистера Блю - мальчик, рожденный 1 апреля".

Классическое решение

Подсчитаем сначала вероятность того, что в семье есть девочка.

Пусть в мальчик, родившийся в среду - старший ребенок. Тогда для второго ребенка у нас 2k вариантов (мальчик родился в понедельник, девочка родилась в понедельник, мальчик родился во вторник...), из них k - девочки. Аналогично мы имеем 2k и k вариантов для старшего ребенка, если мальчик, родившийся в среду - младший. На первый взгляд кажется, что вероятность девочки (k+k)/(2k+2k). Но на самом деле мы в знаменателе один вариант подсчитали дважды: когда в семье два мальчика, и при этом каждый родился в среду. Поэтому истинная вероятность того, что в семье есть девочка, (k+k)/(2k+2k-1) = 2k/(4k-1). Значит, вероятность того, что оба ребенка - мальчики, 1-2k/(4k-1) = (2k-1)/(4k-1). При k=1 это 1/3, при k=7 это 13/27, а в пределе при большом k получается 1/2.

Байесовское решение

Я слегка переформулирую задачу в духе байесовского подхода. У нас есть прибор, который чувствует мальчиков по запаху, но плохо. Если к прибору подходит мальчик, то лампочка прибора загорается с вероятностью 1/k (и уже не тухнет, пока ее не выключить). Когда к прибору подошли два ребенка Гринов, лампочка загорелась, но мы не успели заметить, после какого именно ребенка это произошло. Какова апостериорная вероятность того, что они оба - мальчики?

Пусть событие M2 - то, что у Гринов два мальчика, а событие L - то, что лампочка загорелась. Тогда теорема Байеса говорит, что P(M2|L) = P(L|M2)P(M2)/P(L).

Априорная вероятность того, что оба ребенка - мальчики, P(M2)=1/4. Если известно, что ребенок - мальчик, то лампочка, когда он подойдет к прибору, не загорится с вероятностью 1-1/k, а если пол неизвестен, то с вероятностью 1-1/(2k). Отсюда P(L) = 1 - [1-1/(2k)]^2, P(L|M2) = 1 - (1-1/k)^2. После простых преобразований получаем P(L|M2) = (2k-1)/(4k-1).

Только ли мне кажется, что первое решение красивее, но второе эффективнее и в чем-то проще? И верно ли, что в преподавании теории вероятностей педагогически правильно как можно раньше вводить байесовский подход?

scholar_vit: (knot)

Средневековая педагогическая система [...] давала учителям абсолютную власть над учениками, которой учителя систематически злоупотребляли (pedagogus ergo sodomiticus, как гласила поговорка тех времен).

Robert Pogue Harrison, Dante on Trial. NYRB, LXII, No. 3, pp. 36-37, Feb 19, 2015.

scholar_vit: (knot)

Ну ладно, отвлечемся от политики. Что-то давно тут не было переводов старых шуточек из rhf. Вот эта датируется 1998 годом и принадлежит, по слухам, Джеффу Фогелю, spidweb@spidweb.com. Перевод мой. Текст ниже может оскорбить чувства верующих.

Read more... )
scholar_vit: (knot)

Во френдленде народ обсуждает разницу между 9*2 и 2*9.

На самом деле 2*9 и 9*2 - это, строго говоря, описание двух способов разложить по два куска сахара в девять чашек.

Способ 1: кладем в первую чашку два куска сахара и отдаем её жаждущему. Затем кладем во вторую чашку два куска сахара и отдаем её следующему клиенту. И так далее.

Способ 2: ставим перед собой девять чашек. В каждую кладем по одному куску сахара. Затем ещё раз в каждую по куску. И только потом раздаем чашки.

Умный учитель, увидев выражение 9*2 вместо 2*9, скажет ребенку (и классу): "Ага, ты не по два куска раскладывал, а по одному куску, но два раза. Так тоже можно".

Если ученик из объяснения учителя сам выведет коммутативность, то он молодец. А если нет - не страшно, когда будем изучать коммутативность, вернемся к этому: "А помните, когда Петя написал 9*2, и мы стали сахар по-другому раскладывать? Сейчас мы подумаем, почему у него тоже получилось правильно".

scholar_vit: (Default)

У [livejournal.com profile] pigbig опять идет длинный спор о том, является ли наука социальным явлением. По ходу дела её оппонент высказывает утверждение, что важная часть процесса обучения ученого - это проверка собственными руками классических и хорошо известных результатов. В связи с этим мне вспомнились две истории.

Read more... )
scholar_vit: (Default)

Сын подарил на Father's Day бутылку Клейна, которую делает замечательный Клиффорд Столл. Ниже его лекция: посмотрите, не пожалеете!

Кстати, сын написал на открытке "Pozdravlyayu" латинницей; Столл распознал язык и аккуратно перевел в кириллицу.

scholar_vit: (Default)

Как-то [livejournal.com profile] prof_yura рассказал следующую историю о Гельфанде. В советское время евреи-математики часто зарабатывали на жизнь своеобразными способами, и один из учеников Гельфанда устроился преподавателем в вечерней школе для милиционеров. Однажды он пожаловался учителю, что его подопечные ничего не усваивают, и изложить им даже простейшие понятия совершенно невозможно. "Это потому, что ваши уроки не опираются на вещи, понятные и знакомые вашим ученикам, - ответил Гельфанд. - Что вы им сейчас преподаете? Сравнение дробей? Прекрасно. Спросите их, что больше: две бутылки на троих или три бутылки на пятерых?" Гельфанд оказался прав: на поставленный так вопрос милиционеры отвечали легко и свободно.

Я вспомнил об этой истории, читая запись в блоге Брюса Шнейера об эксперименте Уотсона. Read more... )

scholar_vit: (Default)

[livejournal.com profile] edricson дал ссылку на этот замечательный текст. Вот он в моем вольном переводе.

И, когда сел, приступили к Нему ученики Его. И Он, отверзши уста Свои, учил их, говоря: "Блаженны нищие духом, ибо их есть Царство Небесное. Блаженны плачущие, ибо они утешатся. Блаженны кроткие, ибо они наследуют землю. Блаженны алчущие и жаждущие правды, ибо они насытятся. Блаженны милостивые, ибо они помилованы будут. Блаженны чистые сердцем, ибо они Бога узрят. Блаженны миротворцы, ибо они будут наречены сынами Божиими. Блаженны изгнанные за правду, ибо их есть Царство Небесное. Блаженны вы, когда будут поносить вас и гнать и всячески неправедно злословить за Меня. Радуйтесь и веселитесь, ибо велика ваша награда на небесах: так гнали пророков, бывших прежде вас."

И Симон Петр сказал: "Надо ли это конспектировать?"

И Филипп сказал: "Будет ли этот материал на экзамене?"

И Иоанн сказалл: "Я не понял. Можно повторить?"

И Андрей сказал: "А ученикам Иоанна Крестителя этого не задают".

И Матфей сказал: "Что?"

И Иуда сказал: "Какое отношение эта лекция имеет к жизни?"

Затем один из фарисеев, знаток Закона, сказал: "Я не вижу ничего похожего в программе курса. Есть ли у вас план лекции? Есть ли краткое содержание? Где методичка для студентов? Будет ли контрольная для закрепления?"

Фома, который пропустил проповедь, пришел к Иисусу и спросил: "Сегодня проходили что-то важное?"

scholar_vit: (Default)

Хороший лектор знает много способов заставить аудиторию себя слушать, а материал - запомнить. Об одной впечатляющей лекции рассказал Лоуренс Клотц (Klotz, L. (2005), How (not) to communicate new scientific information: A memoir of the famous Brindley lecture. BJU International, 96: 956-957. doi: 10.1111/j.1464-410X.2005.05797.x. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1464-410X.2005.05797.x/full). Эта лекция была прочитана профессором Бриндли на заседании Уродинамического Общества в 1983 году. Как пишет Клотц: "Хотя прошло уже больше двадцати лет, она ярко предстает в моей памяти до сих пор - по причинам, которые сейчас будут очевидны".

Профессор Бриндли рассказывал об экапериментах по лечению эректильной дисфункции путем впрыскивания в член фентоламина, папаверина и других лекарств (сейчас это одна из известных методик, но в те времена о ней ещё не слышали). Это было вечернее заседание общества, после в расписании шел банкет - поэтому многие пришли с супругами. Мужчины были в строгих костюмах, а дамы - в вечерних платьях. Бриндли, немолодой нервный профессор в очках, удивил аудиторию тем, что пришел в синих спортивных брюках.

Профессор Бриндли объяснил, что за неимением животной модели и в русле классической традиции испытаний лекарств на себе он впрыскивал препараты в собственный член. Он показал много слайдов с фотографиями своего члена на разных стадиях эрекции после инъекции различных веществ. Чтобы убедить аудиторию в действенности его лечения, он заметил, что у нормального человека чтение лекции не вызывает сексуального возбуждения - но так как он перед выступлением вколол себе папаверин, у него эрекция должна проявиться. И он специально надел спортивный костюм, чтобы его эрекция была заметна аудитории. Он подобрал мотню штанов, чтобы подтвердить свое состояние.

Профессор Бриндли скептически осмотрел свой пах и заметил: "Нет, похоже, это не демонстрирует результат достаточно ясно". Затем он спустил брюки и трусы, предъявив длинный тонкий эрегированный член. Как пишет Клотц, "в комнате не было не звука. Все задержали дыхание".

Профессор, подумав, сказал: "Я бы хотел дать возможность аудитории убедиться в степени эрекции". С штанами у колен и болтающимся при ходьбе членом, он спустился со сцены к публике.

В этот момент дамы стали визжать.

Лекция была торопливо закончена.

Статья профессора Бриндли о новом методе лечения эректильных дисфункций вскорости была опубликована. Соавторов у неё не было.

Как пишет Клотц, профессор Бриндли известен большим вкладом в самые разные области медицины и физиологии, включая лечение эректильных дисфункций и женских сексуальных расстройств, нейрофизиологию зрения и многое другое. Его лекция 1983 года была одна из самых драматичных и запоминающихся лекций в истории.

Update: via [livejournal.com profile] el_kashim более подробное обсуждение

scholar_vit: (Default)

В юности одной из моих любимых книг была "Смотри в корень!" П.В. Маковецкого (http://n-t.ru/ri/mk/sk.htm). В одной из задач (109-4) автор обсуждал, как сообщить внеземным цивилизациям (ВЦ), что мы есть и мы разумны. В итоге предлагается передавать сигнал на частоте, в π раз меньше (или больше), чем частота нейтрального водорода. Маковецкий говорит и о других константах, и делает неожиданное замечание: Например, константа e, возникшая в земной математике значительно позже (как следствие теории пределов), могла бы у ВЦ не появиться вообще, если бы ВЦ изобрела вычислительную технику раньше математического анализа (как ни странно это выглядит с нашей, антропоцентричной, точки зрения). Тогда ВЦ не нуждалась бы в понятии бесконечно малого и могла бы обойтись дискретной математикой. Автор признателен Т.А. Розету за указание на такую экзотическую возможность. Меня в свое время это крайне удивило: как это можно без матанализа? Но недавно я оказался свидетелем истории, в которой существование компьютеров поставило под сомнение полезность целого раздела математики - правда, не анализа, но раздела столь же почтенного.

В результате управленческой накладки два инженера, работавших в одной компании, но в разных городах (даже на разных побережьях США) получили одно и то же задание. Встретившись на совещании, они обнаружили, что занимались одной проблемой, и сравнили результаты. Read more... )

scholar_vit: (Default)

По ссылке от [livejournal.com profile] liviusа прочел статью о новом Положении о школьных олимпиадах России. В частности, узнал, что министр Фурсенко предложил проводить олимпиады по "Основам православной культуры".

Мне интересно, что они будут делать, когда неизбежно выяснится, что среди победителей этих олимпиад значительную часть составляют еврейские дети?

scholar_vit: (Default)

Гражданин второсортной эпохи, гордо
признаю я товаром второго сорта
свои лучшие мысли и дням грядущим
я дарю их как опыт борьбы с удушьем.




Бродский

Я полагал, что мой опыт никому не интересен, но [livejournal.com profile] syarzhuk и [livejournal.com profile] larisaka попросили рассказать, поэтому держите. В тексте довольно часто встречается слово "я" - ну так жанр такой: мемуары. По поводу остальных претензий см. эпиграф. Read more... )

scholar_vit: (Default)

Сначала я хочу попросить прощения у комментаторов, пришедших ко мне на помощь после предыдущей записи. Я не осознавал, что риторический характер моих вопросов не очевиден. Честно говоря, в этой компании я работаю не первый год, и тут как-то знают, что я умею, а чего нет. Это к тому, чтобы вы правильно отнеслись к рассказу о том, как меня сегодня поймали на использовании служебных ресурсов в личных целях.

Я отправил на печать статью, о которой рассказал [livejournal.com profile] ygam. Придя через некоторое время на кухню, где у нас стоят принтеры, статьи я не нашел. А потом меня перехватил в коридоре возбужденный начальник: "Слушай, мне такую интересную статью на стол положили!" Я сказал, что это моя распечатка - очевидно, кто-то по ошибке занес её ему в кабинет. Мы поговорили об этой статье. Потом я её ещё пообсуждал с женой и друзьями. Так что тут ниже не только мои мысли, но и их.

Один из авторов статьи десятилетиями преподавал программирование, писал учебники. И оба автора часто сталкивались с ситуацией, которую знают многие опытные менеджеры. А именно, что программисты очень резко делятся на хороших и плохих - и пропасть между ними огромна. При обучении это проявляется в том, что есть люди, которые никак не могут преодолеть компьютерную премудрость - а есть те, которым на лекциях просто скучно, потому что все так просто. И середины практически нет. Эта ситуация почти уникальна. Да, есть люди с абсолютным слухом и те, кому медведь на ухо наступил - но большинство все же можно научить играть на пианино "Мурку". В математике ситуация близка, хотя, как кажется, не так резко выражена. Такое впечатление, что есть некая таинственная "способность понимать компьютеры", которой одни изначально обладают, а другие - нет. Эта способность, по словам авторов, плохо коррелирует с IQ, оценками, математическими способностями - поэтому интересно понять, можно ли её (или её отсутствие) выявить заранее. И тут авторам помогла случайность.

Read more... )
scholar_vit: (Default)
Несколько моих студентов заработали достаточно дополнительных баллов, чтобы получить оценку автоматом. Я им об этом сказал. Но на консультацию они все же пришли. Говорят, потому что интересно.

Хороший курс в этом семестре получился.
scholar_vit: (Default)

Я рекомендую студентам сдавать домашние работы по e-mailу. Предпочтительно в формате PDF (я всё надеюсь, что кто-то напишет в TeXе). Но студенты, кажется, не понимают всех особенностей формата.

Сегодня напомнил одной студентке, что в файл PDF (как впрочем, и в Wordовский файл) записывается метаинформация о документе. Дело в том, что если в её домашней работе выбрать из меню Акробата "File->Properties" (или вызвать pdfinfo), то высвечивается "Author:" - и дальше имя совсем другого студента. Я сказал ей, что в аспирантском курсе коллективное выполнение домашних работ не наказывается - в конце концов в жизни навыки совместной работы пригодятся. Но стоит это отмечать в самом тексте.

scholar_vit: (Default)

Наконец разобрался, почему с неделю было поганое настроение. Мне нужно было написать рецензию на одну статейку в журнал, а делать этого очень не хотелось.

Я уже рецензировал эту работу в прошлом году. Авторы не то, чтобы глупые, но какие-то малограмотные и неаккуратные. Они учли одно слагаемое в их эффекте, но даже не догадывались о существовании другого. Между тем похожую задачу в незапамятные времена решил Зельдович, и он тогда же показал, почему второе слагаемое важно. Так как авторы этой работы не читали, им пришлось привлечь совершенно фантастические предположения, чтобы хоть что-то получилось.

Я сказал, что статью надо переделать. Дал ссылки на работы З. и их обсуждение в англоязычных учебниках (!). Объяснил, как на самом деле возникает их эффект, и почему никаких фантастических гипотез привлекать не надо. Можно ли ожидать бОльшего от неоплачиваемого рецензента? Read more... )

scholar_vit: (Default)

В одной из предыдущих записей я дал ссылку на сюжет о преподавании математики в американской младшей школе. Большое спасибо всем, кто комментировал: вас читать было интересно, и вы мне многое разъяснили. Тогда же я пообещал сказать, что я об этом думаю. Я уже хотел увильнуть, но мой сын потребовал всё-таки высказаться. Так что придётся.

Сыну: ты спрашивал, что думаю я, и что думает мама. Наши мнения, в общем, похожи, за исключением одного пункта. Я скажу, какого, когда мы до него дойдём.

Необходимое предуведомление: я преподавал со студенческой скамьи, т.е. где-то с 1983 года, но в основном старшеклассникам, студентам и аспирантам. Поэтому хотя я кое-что знаю о преподавании, но об обучении в младшей школе сужу в основном по его плодам. Так что к моему мнению следует относиться с осторожностью. Опыт моей жены ближе к предмету: она много занималась репетиторством, в основном, правда, среди старше- и среднеклассников, но были и ученики младших классов.

В сюжете можно разделить три вещи: алгоритмы умножения и деления, сами учебники (и преподавание математики вообще) и использование калькуляторов. Мы поговорим о них по очереди.

Read more... )
scholar_vit: (Default)
Сын прислал ссылку. Спрашивает, что я думаю об этом.


Update: папы этого ответ
scholar_vit: (Default)

Есть теория, что "ранний старт" в обучении младенцев помогает их умственному развитию. Согласно этой теории, заботящиеся о ребёнке родители должны как можно раньше начать "развивать" его. Специально сконструированными играми, наглядными пособиями и т.д. Теорию эту активно поддерживают производители всевозможных пособий. В качестве примера приведу компанию "Крошка Эйнштейн", подразделение всемогущего Диснея. Компания выпускает DVD-шки с названиями типа "Крошка Бах", "Крошка Моне", "Крошка да Винчи", "Крошка Шекспир" и так далее. Я видел пару таких дисков: там под музыку Моцарта и Бетховена переливаются разные формы, движутся механизмы, мычат коровы, лают собаки и т.д. Дополнительное сенсорное воздействие на ребёнка должно сделать его умнее и развитее.

Я вспомнил эту теорию пару дней назад, когда забрёл на семинар по нейрофизиологии. Докладчик как раз исследовал влияние раннего (неонатального) сенсорного опыта на развитие мозга крыс. Read more... )

scholar_vit: (Default)

Университет перестраивает учебные планы. Мой курс поставили на осень, поэтому сейчас ничего не читаю. А тут оказалось, что в компании надо провести лекцию для новых разработчиков: объяснить, как работает CVS (чего только не приходится преподавать). С утра ощущал подъём настроения; даже намечавшаяся простуда куда-то ушла.

Мой научный руководитель выделял людей "эстрадных": тех, кому непременно нужна аудитория, кто лучше всего чувствует себя, рассказывая что-то ученикам. "Но из всех эстрадных людей, кого я видел, - добавлял он, - ты, несомненно, самый эстрадный".

Собственно, этот журнал - тоже от эстрадности.

Profile

scholar_vit: (Default)
scholar_vit

October 2017

S M T W T F S
12 34567
8910 11 12 1314
151617 18192021
22232425262728
293031    

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Oct. 20th, 2017 10:43 am
Powered by Dreamwidth Studios