scholar_vit

Использование векторной алгебры позволяет многие задачи синтетической геометрии решать "автоматически". Вместо нетривиальных рассуждений ad hoc мы тупо пишем уравнения, упрощаем и получаем ответ. Что, возможно, и не так красиво, зато эффективно. Аналогично можно сравнить школьную алгебру и школьную арифметику образца 19 века (последнюю уже и не преподают толком в обычной школе: зачем, если все эти задачи про купцов и цыбики чая значительно упрощаются с введением иксов и игреков?).

Мне иногда кажется, что применение теоремы Байеса позволяет аналогичным образом "автоматизировать" многие задачи элементарной теории вероятностей. В качестве иллюстрации я приведу два решения одной задачи: классическое и байесовское.

Задача взята в фейсбуке Кости Кнопа; так как в комментариях уже есть ответы, я позволю себе привести тут решение - точнее, два решения.

Задача

Два мальчика (логическая задача)

Вы наверняка слыхали про вероятностную задачу "У мистера Брауна два ребенка, хотя бы один из них мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка - мальчики". Классика. Ответ в ней 1/3, если вдруг кто позабыл. [Для дотошных и въедливых. Рассматриваются все семьи с двумя детьми, среди которых есть хотя бы один мальчик. Какую долю из них составляют семьи с двумя мальчиками?]

А теперь - намного менее известная вариация (придуманная 3-4 года назад). "У мистера Грина два ребенка. Один из них - мальчик, родившийся в среду. Какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?"

При решении этой задачи вероятность рождения детей в каждый день недели следует считать одинаковой, вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми, рождением близнецов пренебречь и т.п. В общем - чистая логика и чистый теорвер.

Прежде чем решать, попробуйте прикинуть ответ, а потом сравните свою прикидку с ответом, полученным вами в результате вычислений. Ну и поделитесь результатами прикидок, пожалуйста.

Я буду рассматривать ниже "неделю" из k дней. При k=1 мы получаем задачу про мистера Брауна, при k=7 - про мистера Грина, при k=365 - задачу "По крайней мере один из детей мистера Блю - мальчик, рожденный 1 апреля".

Классическое решение

Байесовское решение

Я слегка переформулирую задачу в духе байесовского подхода. У нас есть прибор, который чувствует мальчиков по запаху, но плохо. Если к прибору подходит мальчик, то лампочка прибора загорается с вероятностью 1/k (и уже не тухнет, пока ее не выключить). Когда к прибору подошли два ребенка Гринов, лампочка загорелась, но мы не успели заметить, после какого именно ребенка это произошло. Какова апостериорная вероятность того, что они оба - мальчики?

Только ли мне кажется, что первое решение красивее, но второе эффективнее и в чем-то проще? И верно ли, что в преподавании теории вероятностей педагогически правильно как можно раньше вводить байесовский подход?

Ну ладно, отвлечемся от политики. Что-то давно тут не было переводов старых шуточек из rhf. Вот эта датируется 1998 годом и принадлежит, по слухам, Джеффу Фогелю, spidweb@spidweb.com. Перевод мой. Текст ниже может оскорбить чувства верующих.

У pigbig опять идет длинный спор о том, является ли наука социальным явлением. По ходу дела её оппонент высказывает утверждение, что важная часть процесса обучения ученого - это проверка собственными руками классических и хорошо известных результатов. В связи с этим мне вспомнились две истории.

Как-то prof_yura рассказал следующую историю о Гельфанде. В советское время евреи-математики часто зарабатывали на жизнь своеобразными способами, и один из учеников Гельфанда устроился преподавателем в вечерней школе для милиционеров. Однажды он пожаловался учителю, что его подопечные ничего не усваивают, и изложить им даже простейшие понятия совершенно невозможно. "Это потому, что ваши уроки не опираются на вещи, понятные и знакомые вашим ученикам, - ответил Гельфанд. - Что вы им сейчас преподаете? Сравнение дробей? Прекрасно. Спросите их, что больше: две бутылки на троих или три бутылки на пятерых?" Гельфанд оказался прав: на поставленный так вопрос милиционеры отвечали легко и свободно.

Я вспомнил об этой истории, читая запись в блоге Брюса Шнейера об эксперименте Уотсона. ( Read more... )

Хороший лектор знает много способов заставить аудиторию себя слушать, а материал - запомнить. Об одной впечатляющей лекции рассказал Лоуренс Клотц (Klotz, L. (2005), How (not) to communicate new scientific information: A memoir of the famous Brindley lecture. BJU International, 96: 956-957. doi: 10.1111/j.1464-410X.2005.05797.x. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1464-410X.2005.05797.x/full). Эта лекция была прочитана профессором Бриндли на заседании Уродинамического Общества в 1983 году. Как пишет Клотц: "Хотя прошло уже больше двадцати лет, она ярко предстает в моей памяти до сих пор - по причинам, которые сейчас будут очевидны".

Профессор Бриндли рассказывал об экапериментах по лечению эректильной дисфункции путем впрыскивания в член фентоламина, папаверина и других лекарств (сейчас это одна из известных методик, но в те времена о ней ещё не слышали). Это было вечернее заседание общества, после в расписании шел банкет - поэтому многие пришли с супругами. Мужчины были в строгих костюмах, а дамы - в вечерних платьях. Бриндли, немолодой нервный профессор в очках, удивил аудиторию тем, что пришел в синих спортивных брюках.

Профессор Бриндли объяснил, что за неимением животной модели и в русле классической традиции испытаний лекарств на себе он впрыскивал препараты в собственный член. Он показал много слайдов с фотографиями своего члена на разных стадиях эрекции после инъекции различных веществ. Чтобы убедить аудиторию в действенности его лечения, он заметил, что у нормального человека чтение лекции не вызывает сексуального возбуждения - но так как он перед выступлением вколол себе папаверин, у него эрекция должна проявиться. И он специально надел спортивный костюм, чтобы его эрекция была заметна аудитории. Он подобрал мотню штанов, чтобы подтвердить свое состояние.

Профессор Бриндли скептически осмотрел свой пах и заметил: "Нет, похоже, это не демонстрирует результат достаточно ясно". Затем он спустил брюки и трусы, предъявив длинный тонкий эрегированный член. Как пишет Клотц, "в комнате не было не звука. Все задержали дыхание".

Профессор, подумав, сказал: "Я бы хотел дать возможность аудитории убедиться в степени эрекции". С штанами у колен и болтающимся при ходьбе членом, он спустился со сцены к публике.

В этот момент дамы стали визжать.

Лекция была торопливо закончена.

Статья профессора Бриндли о новом методе лечения эректильных дисфункций вскорости была опубликована. Соавторов у неё не было.

Как пишет Клотц, профессор Бриндли известен большим вкладом в самые разные области медицины и физиологии, включая лечение эректильных дисфункций и женских сексуальных расстройств, нейрофизиологию зрения и многое другое. Его лекция 1983 года была одна из самых драматичных и запоминающихся лекций в истории.

Update: via el_kashim более подробное обсуждение

По ссылке от liviusа прочел статью о новом Положении о школьных олимпиадах России. В частности, узнал, что министр Фурсенко предложил проводить олимпиады по "Основам православной культуры".

Мне интересно, что они будут делать, когда неизбежно выяснится, что среди победителей этих олимпиад значительную часть составляют еврейские дети?

Сначала я хочу попросить прощения у комментаторов, пришедших ко мне на помощь после предыдущей записи. Я не осознавал, что риторический характер моих вопросов не очевиден. Честно говоря, в этой компании я работаю не первый год, и тут как-то знают, что я умею, а чего нет. Это к тому, чтобы вы правильно отнеслись к рассказу о том, как меня сегодня поймали на использовании служебных ресурсов в личных целях.

Я отправил на печать статью, о которой рассказал ygam. Придя через некоторое время на кухню, где у нас стоят принтеры, статьи я не нашел. А потом меня перехватил в коридоре возбужденный начальник: "Слушай, мне такую интересную статью на стол положили!" Я сказал, что это моя распечатка - очевидно, кто-то по ошибке занес её ему в кабинет. Мы поговорили об этой статье. Потом я её ещё пообсуждал с женой и друзьями. Так что тут ниже не только мои мысли, но и их.

Один из авторов статьи десятилетиями преподавал программирование, писал учебники. И оба автора часто сталкивались с ситуацией, которую знают многие опытные менеджеры. А именно, что программисты очень резко делятся на хороших и плохих - и пропасть между ними огромна. При обучении это проявляется в том, что есть люди, которые никак не могут преодолеть компьютерную премудрость - а есть те, которым на лекциях просто скучно, потому что все так просто. И середины практически нет. Эта ситуация почти уникальна. Да, есть люди с абсолютным слухом и те, кому медведь на ухо наступил - но большинство все же можно научить играть на пианино "Мурку". В математике ситуация близка, хотя, как кажется, не так резко выражена. Такое впечатление, что есть некая таинственная "способность понимать компьютеры", которой одни изначально обладают, а другие - нет. Эта способность, по словам авторов, плохо коррелирует с IQ, оценками, математическими способностями - поэтому интересно понять, можно ли её (или её отсутствие) выявить заранее. И тут авторам помогла случайность.

Я рекомендую студентам сдавать домашние работы по e-mailу. Предпочтительно в формате PDF (я всё надеюсь, что кто-то напишет в TeXе). Но студенты, кажется, не понимают всех особенностей формата.

Сегодня напомнил одной студентке, что в файл PDF (как впрочем, и в Wordовский файл) записывается метаинформация о документе. Дело в том, что если в её домашней работе выбрать из меню Акробата "File->Properties" (или вызвать pdfinfo), то высвечивается "Author:" - и дальше имя совсем другого студента. Я сказал ей, что в аспирантском курсе коллективное выполнение домашних работ не наказывается - в конце концов в жизни навыки совместной работы пригодятся. Но стоит это отмечать в самом тексте.

В одной из предыдущих записей я дал ссылку на сюжет о преподавании математики в американской младшей школе. Большое спасибо всем, кто комментировал: вас читать было интересно, и вы мне многое разъяснили. Тогда же я пообещал сказать, что я об этом думаю. Я уже хотел увильнуть, но мой сын потребовал всё-таки высказаться. Так что придётся.

Сыну: ты спрашивал, что думаю я, и что думает мама. Наши мнения, в общем, похожи, за исключением одного пункта. Я скажу, какого, когда мы до него дойдём.

Необходимое предуведомление: я преподавал со студенческой скамьи, т.е. где-то с 1983 года, но в основном старшеклассникам, студентам и аспирантам. Поэтому хотя я кое-что знаю о преподавании, но об обучении в младшей школе сужу в основном по его плодам. Так что к моему мнению следует относиться с осторожностью. Опыт моей жены ближе к предмету: она много занималась репетиторством, в основном, правда, среди старше- и среднеклассников, но были и ученики младших классов.

В сюжете можно разделить три вещи: алгоритмы умножения и деления, сами учебники (и преподавание математики вообще) и использование калькуляторов. Мы поговорим о них по очереди.

Есть теория, что "ранний старт" в обучении младенцев помогает их умственному развитию. Согласно этой теории, заботящиеся о ребёнке родители должны как можно раньше начать "развивать" его. Специально сконструированными играми, наглядными пособиями и т.д. Теорию эту активно поддерживают производители всевозможных пособий. В качестве примера приведу компанию "Крошка Эйнштейн", подразделение всемогущего Диснея. Компания выпускает DVD-шки с названиями типа "Крошка Бах", "Крошка Моне", "Крошка да Винчи", "Крошка Шекспир" и так далее. Я видел пару таких дисков: там под музыку Моцарта и Бетховена переливаются разные формы, движутся механизмы, мычат коровы, лают собаки и т.д. Дополнительное сенсорное воздействие на ребёнка должно сделать его умнее и развитее.

Я вспомнил эту теорию пару дней назад, когда забрёл на семинар по нейрофизиологии. Докладчик как раз исследовал влияние раннего (неонатального) сенсорного опыта на развитие мозга крыс. ( Read more... )