scholar_vit

В русскоязычной блогосфере опять обсуждают Парето и монетизацию льгот. Я ни в коей мере не специалист, но мне со стороны забавно, как раз за разом делается неявное допущение, которое (1) верно далеко не всегда, и (2) в конкретном примере, который в данном случае приводится, очевидно неверно. Причем очевидно даже для такого неспециалиста, как я.

Напомню рассуждение. Пусть по университетскому кампусу ездит бесплатный автобусик. На самом деле бесплатных пирожных не бывает, и каждый студент и сотрудник на самом деле платит за проезд (т.е. с одних берут чуть больше за обучение, а другим недоплачивают зарплату) некоторую сумму X. Давайте сделаем автобус платным, а всем студентам и сотрудникам раздадим эту сумму X. Тогда те, кто хотят, потратят ее на проезд, и их положение не ухудшится. А те, кто хотят, пойдут пешком, а на вырученные деньги посидят в кафе, и их положение улучшится: предполагается, что они знают, что им лучше, кафе или автобус. Следовательно, от монетизации никому не станет хуже, а кому-то станет лучше, что и требовалось доказать.

Проблема в том, что тут неявно предполагается, что все взаимодействия парные, и, в частности, стоимость проезда пассажира A никак не зависит от того, поехал ли этим автобусом пассажир B. Это, однако, очевидно не так: затраты на поездку автобуса мало зависят от количества пассажиров (говоря учеными словами, маргинальная стоимость перевозки одного пассажира близка к нулю). Если мы раздадим стоимость проезда участникам, и часть пассажиров не отдаст их за проезд, стоимость проезда для каждого из остальных будет уже не X, а больше. Поэтому для того, чтобы перевозчик не разорился, он будет вынужден брать за проезд больше, чем X. Таким образом положение тех, кто ездит на автобусике, ухудшится: они потратят на проезд больше, чем получили в качестве компенсации отмены бесплатного автобусика. (Кое-какие диспутанты это понимают и переходят к моральным доводам: разными способами объясняется, что ухудшение положения "паразитов на автобусе" полезно для всеобщей нравственности. Такой переход, надо сказать, несколько подрывает аргументы об объективной истинности математического доказательства Парето-оптимальности).

Играя с параметрами, можно придумать массу сценариев. Например, death spiral: из-за повышения платы за проезд часть пассажиров, которые были готовы отдать за проезд X, теперь пойдут пешком, что приведет к еще большему повышению платы за проезд, и так далее до полной отмены автобусика. Дальше, для любой сколько угодной малой доли пассажиров можно подобрать параметры так, чтобы положение всех, кроме этой доли, после монетизации льгот ухудшилось. А если мы чуть усложним модель: теперь пассажир принимает не бинарное решение (всегда автобус или всегда кафе), а руководствуется, например, погодой (в дождь еду на автобусе, в вёдро иду пешком), то можно подобрать параметры так, чтобы положение всех участников игры в результате монетизации ухудшилось.

Математические рассуждения, конечно, штука полезная. Но не следует забывать, что они относятся к модели, а не к реальной действительности. Вопрос, насколько эта модель хороша, часто куда сложнее самой модели.

Использование векторной алгебры позволяет многие задачи синтетической геометрии решать "автоматически". Вместо нетривиальных рассуждений ad hoc мы тупо пишем уравнения, упрощаем и получаем ответ. Что, возможно, и не так красиво, зато эффективно. Аналогично можно сравнить школьную алгебру и школьную арифметику образца 19 века (последнюю уже и не преподают толком в обычной школе: зачем, если все эти задачи про купцов и цыбики чая значительно упрощаются с введением иксов и игреков?).

Мне иногда кажется, что применение теоремы Байеса позволяет аналогичным образом "автоматизировать" многие задачи элементарной теории вероятностей. В качестве иллюстрации я приведу два решения одной задачи: классическое и байесовское.

Задача взята в фейсбуке Кости Кнопа; так как в комментариях уже есть ответы, я позволю себе привести тут решение - точнее, два решения.

Задача

Два мальчика (логическая задача)

Вы наверняка слыхали про вероятностную задачу "У мистера Брауна два ребенка, хотя бы один из них мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка - мальчики". Классика. Ответ в ней 1/3, если вдруг кто позабыл. [Для дотошных и въедливых. Рассматриваются все семьи с двумя детьми, среди которых есть хотя бы один мальчик. Какую долю из них составляют семьи с двумя мальчиками?]

А теперь - намного менее известная вариация (придуманная 3-4 года назад). "У мистера Грина два ребенка. Один из них - мальчик, родившийся в среду. Какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?"

При решении этой задачи вероятность рождения детей в каждый день недели следует считать одинаковой, вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми, рождением близнецов пренебречь и т.п. В общем - чистая логика и чистый теорвер.

Прежде чем решать, попробуйте прикинуть ответ, а потом сравните свою прикидку с ответом, полученным вами в результате вычислений. Ну и поделитесь результатами прикидок, пожалуйста.

Я буду рассматривать ниже "неделю" из k дней. При k=1 мы получаем задачу про мистера Брауна, при k=7 - про мистера Грина, при k=365 - задачу "По крайней мере один из детей мистера Блю - мальчик, рожденный 1 апреля".

Классическое решение

Байесовское решение

Я слегка переформулирую задачу в духе байесовского подхода. У нас есть прибор, который чувствует мальчиков по запаху, но плохо. Если к прибору подходит мальчик, то лампочка прибора загорается с вероятностью 1/k (и уже не тухнет, пока ее не выключить). Когда к прибору подошли два ребенка Гринов, лампочка загорелась, но мы не успели заметить, после какого именно ребенка это произошло. Какова апостериорная вероятность того, что они оба - мальчики?

Только ли мне кажется, что первое решение красивее, но второе эффективнее и в чем-то проще? И верно ли, что в преподавании теории вероятностей педагогически правильно как можно раньше вводить байесовский подход?

Сын подарил на Father's Day бутылку Клейна, которую делает замечательный Клиффорд Столл. Ниже его лекция: посмотрите, не пожалеете!

Кстати, сын написал на открытке "Pozdravlyayu" латинницей; Столл распознал язык и аккуратно перевел в кириллицу.

Герой Джека Лондона Смок Беллью сумел победить рулетку в салуне "Олений рог". Старое колесо рассохлось, и движения шарика стали предсказуемыми. Смок выиграл сорок пять тысяч долларов, а потом владельцы игорных домов города заплатили ему тридцать тысяч за "систему" - и очень обрадовались, узнав, что "никакой системы не существует", и за другим столом Смок "не выиграл бы и кислого яблока".

Я вспомнил этот эпизод, когда сын прислал мне ссылку на статью в Wired. ( Read more... )

Пожалуй, мне следовало заскринить комментарии в задаче про пиратов: bazar_wokzal и rioman почти мгновенно её решили. Ответ такой: ( Read more... )

Сын рассказал новый вариант старого американского анекдота. Он прочел его на каком-то сайте, так что на авторство ни я, ни он не претендуем.

Вначале старый вариант. Два математика в ресторане спорят: один говорит, что публика ничего не знает о математике, второй ему возражает. Затем первый выходит в туалет, а второй подзывает официантку: "Когда вернётся мой приятель, я задам вам вопрос. Неважно, что я спрошу, отвечайте 'икс куб на три'. Вот вам $10 за беспокойство". Когда первый вернулся, второй сказал: "Да что там, даже официантки в кафе умеют интегрировать. Вот смотри, -- и, позвав официантку, спросил. -- Скажите, сколько будет интеграл от икс квадрат де икс?" "Икс куб на три," -- ответила официантка.

Потом добавила: "Плюс константа".

В новом варианте в туалет ушел оптимист. А пессимист, соответственно, подозвал официантку, предложил ей десятку и попросил сказать: "А в квадрате плюс б в квадрате". Ну, возвратился оптимист, пессимист подзывает официантку и спрашивает: "Сколько будет квадрат суммы а и б?" "А в квадрате плюс б в квадрате," -- отвечает официантка.

Потом добавляет: "Если а и б антикоммутируют".