К вопросу о коммутативности умножения

[scholar_vit]

Во френдленде народ обсуждает разницу между 9*2 и 2*9.

На самом деле 2*9 и 9*2 - это, строго говоря, описание двух способов разложить по два куска сахара в девять чашек.

Способ 1: кладем в первую чашку два куска сахара и отдаем её жаждущему. Затем кладем во вторую чашку два куска сахара и отдаем её следующему клиенту. И так далее.

Способ 2: ставим перед собой девять чашек. В каждую кладем по одному куску сахара. Затем ещё раз в каждую по куску. И только потом раздаем чашки.

Умный учитель, увидев выражение 9*2 вместо 2*9, скажет ребенку (и классу): "Ага, ты не по два куска раскладывал, а по одному куску, но два раза. Так тоже можно".

Если ученик из объяснения учителя сам выведет коммутативность, то он молодец. А если нет - не страшно, когда будем изучать коммутативность, вернемся к этому: "А помните, когда Петя написал 9*2, и мы стали сахар по-другому раскладывать? Сейчас мы подумаем, почему у него тоже получилось правильно".

Comments

[ipain.livejournal.com]

способ 2 -

.. current system is based on the Hindu Arabic number system and first appeared in Brahmasputa siddhanta. Brahmagupta describes the multiplication as thus “The multiplicand is repeated like a string for cattle, as often as there are integrant portions in the multiplier and is repeatedly multiplied by them and the products are added together. It is multiplication. Or the multiplicand is repeated as many times as there are component parts in the multiplier”

[alexey-ivanov.livejournal.com]

На мой взгляд "умный учитель" тут ключевые слова. Собственно, в исходном обсуждении речь главным образом идёт о том, что реальный учитель не вполне соответствовал этому определению. :)

[ipain.livejournal.com]

задача педагогики сделать "глупого учителя" эффективным.

[kray-zemli.livejournal.com]

Блин, что за бред. Я-то запутался, а вы хотите такое объяснение и ребёнку.

[m61.livejournal.com]

Коммутативность действительно неплохо бы именно изучать, а не бездумно заучивать. А то я видел я примеры, когда студенты "использовали" коммутативность при вычислении произведения тензоров...

Впрочем, это уже эффекты второго порядка, учитель же из исходной стории - он и в самом деле за пределами добра и зла.

А еще "круче" комментаторы, кинувшиеся его защищать...

[eentropy.livejournal.com]

коммутативность за пределами арифметики

попытка ввести коммутативность на арифметических примерах - вызывает у подопытных резонное "чозахрень?"

и они совершенно правы

[sl-lopatnikov.livejournal.com]

Какой феерический бред.

Интересно, а как, по вашему будет выглядеть запись задачи о раскладывании по ДЕВЯТЬ кусков сахара в ДВЕ чашки?

[borovoj.livejournal.com]

А также задача о раскладывании в две чашки по одному кусочку сахара девять раз.

[ymi-an-island.livejournal.com]

я поражен. Вы оказывается в лагере 9*2!=2*9. (Или это шутка?)
Можно спросить: почему это 2*9 это два раза в каждую чашку по куску, а 9*2 это по два куска в каждую чашку? А не, к примеру, наоборот??

Мне сдается, что Ваши два способа это то же самое произвольное и малополезное правило "размерную величину пиши на первом месте, число раз на втором, в носу не ковырять и между строчками пропускать ровно по одной клеточке".

[scholar-vit.livejournal.com]

Утверждение "2*9 - это то же самое, что 9*2" имеет много интерпретаций. В некоторых из них оно верно. В некоторых нет. Да, результат получается одинаковый (впрочем, см. ниже). Но если Вы, например, попробуете заставить компьютер вычислить 2*9 и 9*2, то одно из этих выражений он будет считать раза в три-четыре быстрее. Например, на моем компьютере разница составит 3.7 раза. [Домашнее задание для совсем-совсем начинающих программистов: 1. Почему так происходит, и какое выражение быстрее? 2. Как это измерить проще всего?].

Вы все ещё думаете, что это одно и то же?

Да и с результатом не все так просто. Если умножать целые числа, то коммутативность работает. Но если Вы попробуете умножать и делить дробные числа, известные с неодинаковой точностью, то из-за накопления ошибок порядок вычислений в цепочке может повлиять на результат. Во времена моей юности об этом обязательно говорили в любом курсе приближенных вычислений - начиная с обучения счету на логарифмической линейке в средней школе.

Ещё раз: учитель в описываемой истории, очевидно, плох. Правильно было бы поставить ребенку пятерку и поговорить об этом либо сразу, либо на уроке по коммутативности. Даже промолчать лучше, чем то, что он сделал. Но факт, что результат умножения 2*9 и 9*2 одинаков - сам по себе нетривиален. Тривиальным его делает только то, что мы - в отличие от ребенка - давно о нем знаем и забыли, как он красив.

описание двух способов разложить по два куска сахара в

[origen-72.livejournal.com]

описание двух способов разложить по два куска сахара в девять чашек.
---------------------------------------------

Вы ничего не поняли. Это или по два куска в девять чашек, либо по девять кусков в две чашки.

Как вы понять не можете различия Множителя и Множимого?

Re: описание двух способов разложить по два куска сахар

[sail2ithaki.livejournal.com]

— Он сожалеет о дьяволе! О мой юный друг, не сожалейте о дьяволе, умоляю вас об этом! — простонал кюре.

Д'Артаньян чувствовал, что тупеет; ему казалось, что он находится в доме для умалишенных и что сейчас он тоже сойдет с ума, как уже сошли те, которые находились перед ним. Но он вынужден был молчать, так как совершенно не понимал, о чем идет речь.

[ecreet.livejournal.com]

Это потрясающая воображение(*) физическая идея - что величины имеют размерность. С другой стороны, непонятно, почему ее следует привязывать к порядку множителей. Если мы так делаем, хорошо бы указывать размерность прямо около величины. Если не указываем, то обязательно, чтобы в каноническом тексте (в учебнике) было очевидно прописано, что первое число - скаляр, а второе имеет размерность. Или наоборот. И все равно такое обоснование будет шатким, потому что нет устоявшейся традиции.

Это я к тому, что я не читала обсуждений в жж, но с листа - если хочется правильности, то нужно навертеть *еще больше* абстрактной теории. Сказать, что 2*9 может означать как 2 раза по 9 кусков сахара, так и 9 раз по 2 куска сахара, что это разные, но равные, вещи. А требовать понимать это только как 9 раз по два куска сахара, по-моему, может быть хуже, чем просто говорить, что это восемнадцать, потому что приучает к hidden assumptions.

(*) В том же смысле, в котором Картан сказал "если бы я мог объять разумом все следствия из того, что d^2=0", то есть я абсолютно серьезно.

[verba.livejournal.com]

А можно объяснить для не-математика, в чем драма?

[scholar-vit.livejournal.com]

http://pryf.livejournal.com/2875762.html

[beth4ever.livejournal.com]

Я не знаю, что такое коммутативность, но заметила, что во многих историях, когда приводят в ЖЖ какое-нибудь школьное задание с комментариями "а ужас-ужас куда катится мир" оказывается, что дети-то вполне все понимают, это взрослые что-то уже забыли или не знали.

[thawing-wind.livejournal.com]

Дети они вполне понимают, какой ответ хотел услышать учитель на свой вопрос. А взрослые, да, уже частенько позабыли об условных школьных договоренностях.

[getman.livejournal.com]

В этом есть определенный резон, но учителю легче обьяснить коммутативность, чем то что нельзя и неверно.

[asox.livejournal.com]

а) Непонятно, что изучать в умножении - если не изучать коммутативность (ну и ещё ассоциатиность).
б) Непонятно зачем вбивать в голову ребёнку бессмысленные и ненужные знания - "два на девять - это девять порций по два куска сахара, а девять на два - это две порции по девять кусков" или что-то там ещё подобное.
Зная, что умножение коммутатавно - зачем забивать детские головы бессмысленным усложнением процесса?

[varana.livejournal.com]

Первый способ - это 2+2+2+2+2+2+2+2+2
Очевидно же. Уже должен был быть такой коммент - я не проверяла.

[asox.livejournal.com]

Нет, не очевидно - я скорее решу, что это - 9 + 9.
И вообще, 2H₂ + 0₂ = 2H₂O, и попробуйте написать иначе!

[grundik.livejournal.com]

Почитал текст по ссылке - это кошмар какой-то. С какого хрена от порядка множителей зависит итоговое наименование? Почему если я умножу 5 чашек на 2 куска, у меня получатся чашки? А куда деваются куски в этом случае? Почему в итоге первое наименование получается, а не второе? Это на основании какой аксиоматики?

И эти вопросы возникают, если поверить тому, что каждый множитель имеет размерность (наименование). Но ведь это чушь собачья. Я работаю с кусками, и умножаю два куска на пять. Не на пять чашек, а просто на пять, пять - это коэффициент, у него нет размерности. Про это мне рассказывают на втором уроке, уроке физики. На которой если я умножу два куска на пять чашек у меня никак куски не получатся, а получатся кускочашки, что не имеет физического смысла.

Желаю всяческих чашек в куски сахара составителям этих рекомендаций, а также тем, кто это утвердил, ну и тем, кто это поддерживает.

[eentropy.livejournal.com]

у дяденьки (автора учебника) головка малость бо-бо, он решил ввести понятие "коммутативность" (из высшей математики) в курсе арифметики

зачем? - ну это, шоб знали!

[nickodimm.livejournal.com]

- Но яблок нет! Жрать нечего! Это и есть абстрактное мышление!

http://www.jvanetsky.ru/data/text/t9/yabloki/

[carla461.livejournal.com]

слава российской педагогической науке! осталось совсем не много до лидирующей мировой позиции.

[eentropy.livejournal.com]

педагогика, кстати, вообще не наука

как и экономика

А вы, друзья, как ни садитесь...

[pushler.livejournal.com]

[kouzdra.livejournal.com]

Удручает скорее то, что народ вообще не понимает какую задачу решает методичка - а решает она задачу типового способа в меру туповатому учителю (других у нас в массе нет) вложить в голову в меру туповатого второклассника представление о умножении.

И то, что тут нельзя больше одного понятия за раз вводить - это как раз реальность. Оно и во взрослых по другому не входит на сам деле. И придирки к размерности кстати как раз глупость - если что - то то, что в большинстве вузов выдают за "теорию множеств" это точно такие умножения чашек на куски сахара.

Потому как для педагогических нужд этого достаточно, а что на самом деле там все не вполне так - ну то потом можно объяснить. Если надо будет.

[eentropy.livejournal.com]

я вообще не вижу смысла упоминать коммутативность в школе

никакой практической необходимости нет

[pushler.livejournal.com]

Вопрос тем, кто полагает, что порядок сомножителей важен, ибо спрашивается, сколько будет 9 раз по 2 литра и ответ должен быть в литрах.

Каков должен быть порядок сомножителей, если задачу сформулировать так:
На избирательном участке 2 урны. Председатель избирательной комиссии подбросил 9 фальшивых бюллетеней в каждую урну. Сколько раз сжульничал председатель избирательной комиссии?

[carla461.livejournal.com]

правильный ответ: председатель член партии единая россия

[kub.livejournal.com]

Проблема в том, что большинство видят цель решения школьных задач в получении (подстановке) ответа, а не в понимании и закреплении способа решения. Этакий Сенека наоборот: "важно куда ты приезжаешь, а не каким" ;))

[ivanrak.livejournal.com]

В поставленной задаче нужно не по чашками разложить, а наоборот - из бидончиков в один жбан слить.То ли из девяти бидончиков по два литра, то ли по два литра из девяти бидончиков - разницы никакой. В абстрактных понятиях это называется коммутативность, и для целочисленной арифметики это правило неизменно. Не дурите детям голову.

[silly_sad.livejournal.com]

а это вы охуеено подметили!
ведь и в задаче про чашки с сахаром решение описывает ОБРАТНЫЙ процесс (собирание сахара из чашек)
а условие задачи содержит как раз КОНЕЧНОЕ состояние и просят вычислить начальное.

как-то так.
спасибо. теперь я ещё лучше понимаю арифметику.

[cema.livejournal.com]

Согласен.

Но и комментариям не удивлен.

[goodmankurt.livejournal.com]

про размерности

9 чашек x 2 куска = 18 чашка x кусок. Что такое чашка x кусок?

9 чашек x 2 куска/чашку = 18 кусков - правильный ответ и можно переставлять :)

или

[v-phi.livejournal.com]

9 клонов/кусок × 2 куска = 18 клонов

[radiowestin.livejournal.com]

это надо не на кусках и чашках, а на игральных картах и игроках объяснять)

Посмотрим на математическую проблему

[v-phi.livejournal.com]

1. Допустим, что натуральное число - представимо рисунком, где несколько палочек обведены общей рамкой. В таких представлениях игнорируется расположение палочек. Будем называть такой рисунок "мешок палочек".
2. Допустим, что два таких рисунка представляют одно и то же число A, если верно: если вычеркивать одну палочку из первого и одну палочку из второго рисунка, все палочки закончатся одновременно в обоих мешках палочек.
3. Договоримся, что мешок мешков палочек можно "суммировать": вычеркнуть внутренние рамки, чтобы получился мешок палочек.
4. Договоримся, что мешок палочек A можно подставить вместо каждой палочки в мешке палочек B. В результате получится мешок мешков палочек, в котором все внутренние мешки одинаковые ("мешок B*A").
5. Теорема: при суммировании мешка мешков B*A получается такой же мешок палочек, как при суммировании мешка мешков A*B. Доказательство: будем вычеркивать i-тую палочку из j-того мешка палочек в мешке мешков B*A и j-тую палочку из i-того мешка палочек в мешке мешков A*B. Палочки кончатся одновременно.

Re: Посмотрим на математическую проблему

[asox.livejournal.com]

Заменить палочки на точки или кружочки - дабы не возникало вопроса об их ориентации.