Есть ли у человека вероятностная интуиция, или ещё раз о магии и науке

[scholar_vit]

Я начну с простой задачки, предложенной bgmt. Он рассказал о ней в закрытой записи у ygam, но любезно повторил условие в моём журнале, так что я буду ссылаться на эту открытую запись.

Задачка такая. Есть два самолёта, двухмоторный и четырёхмоторный. Вероятность отказа одного мотора p одна и та же. Самолёт падает, если отказывает больше половины моторов. Какой самолёт безопаснее? Попробуйте ответить на этот вопрос "интуитивно", без всяких вычислений. Потом можете вычислить ответ (или подсмотреть в комментариях вот тут). Сравните с интуитивным ответом. Правда, получается не то? Из этого bgmt делает вывод, что у человека нет вероятностной интуиции. Я попробую обосновать интуитивные рассуждения в этой задаче, а затем сделать некоторые общие предположения о вероятностной интуиции.

Я не буду обсуждать, насколько постановка задачи соответствует реальности (в моём журнале прошла довольно оживлённая дискуссия об этом). Будем оставаться в рамках предложенной модели. Дальнейшие рассуждения похожи на рассуждения p_govorun, но чуть более аккуратны.

Пусть сначала вероятность отказа p мала. Тогда почти все самолёты долетают без аварий. Авария - редкое явление, флуктуация. Чем меньше моторов, тем более поведение каждого конкретного самолёта отклоняется от "среднего", т.е. тем больше вероятность флуктуации. Поэтому четырёхмоторные самолёты безопаснее.

Пусть теперь вероятность p велика. Тогда полёт на самолёте превращается в самоубийственный трюк: почти все самолёты разбиваются. Уже отсутствие аварии является флуктуацией. Чем меньше моторов, тем больше вероятность такой флуктуации. Поэтому двухмоторные самолёты безопаснее.

Дальше, если при малых p безопаснее четырехмоторный самолёт, а при больших - двухмоторный, то должна существовать некоторая пограничная вероятность p0 такая, что при p=p0 вероятности аварии равны. Можно представить себе несколько таких точек, но непонятно, почему разность между вероятностями аварий двух- и четырехмоторного самолёта как функция p немонотонна, поэтому интуиция подсказывает, что такая точка только одна. Разумеется, точное значение p0=1/3 таким способом получить нельзя, но ясно, что это что-то порядка 0.5. Более того, из этих рассуждений понятно, что для любого n существует величина p0(n) такая, что при p<p0(n) самолёт с 2n+2 моторами безопаснее самолёта с 2n моторами, а при p>p0(n) - наоборот. При росте n эта величина p0(n) должна стремиться к 0.5.

Насколько наши рассуждения интуитивны? Нетрудно понять, что они основаны на принципе, который я буду называть нестрогим законом больших чисел. А именно, если поведение системы зависит от большого числа повторяющихся однотипных событий, то чем больше событий, тем ближе поведение системы к среднему (точнее, тем меньше относительное отклонение от среднего поведения: абсолютное отклонение, как известно, растёт). Интуитивен ли этот принцип, для самой формулировки которого мне пришлось написать длиннющее предложение? Дело в том, что это - основной (и часто непроговариваемый) принцип науки. Мы хотим основывать наши рассуждения на повторяемых и проверяемых экспериментах; повторяемость тут равносильна нестрогому закону больших чисел. При некоторой фантазии можно утверждать, что известная фраза "Семь раз отмерь - один отрежь" тоже имеет отношение к этому принципу: она предполагает, что результаты семикратного измерения надёжнее, чем результаты однократного.

Источником интуиции является опыт (у Анри Пуанкаре есть очень интересные рассуждения, как опыт пространственных ощущений приводит к интуитивному пониманию трехмерного пространства). Источником интуитивного понимания нестрогого закона больших чисел является, очевидно, опыт обращения с сериями повторяющихся явлений. Фрэзер, говоря о ритуалах, связанных со сменой сезонов, отмечает, что для дикаря каждый день непохож на предыдущий; повторяемость сезонов требует уже некоторой рефлексии. Возможно, именно этот переход от уникальности каждого ощущения к опыту повторяющихся событий и связан с переходом от магии к науки, о котором мы говорили недавно.

Comments

[bgmt.livejournal.com]

"Другое дело, что не совсем очевидно, какое отношение имеет эта вероятность к тому, что под вероятностью подимает физик."

Hear, hear! Я, правда, подозреваю, что там тоже можно ввести понятие какого-нибудь недискретного ансамбля, но это я так, с потолка.