![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
scholar_vit
Я начну с простой задачки, предложенной ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
bgmt. Он рассказал
о ней в закрытой записи у ygam, но любезно повторил
условие в моём журнале, так что я буду ссылаться на эту открытую
запись.
Задачка такая. Есть два самолёта, двухмоторный и четырёхмоторный.
Вероятность отказа одного мотора p одна и та же. Самолёт падает, если
отказывает больше половины моторов. Какой самолёт безопаснее?
Попробуйте ответить на этот вопрос "интуитивно", без всяких
вычислений. Потом можете вычислить ответ (или подсмотреть в
комментариях вот
тут). Сравните с интуитивным ответом. Правда, получается не то?
Из этого bgmt делает вывод, что у человека нет вероятностной
интуиции. Я попробую обосновать интуитивные рассуждения в этой задаче,
а затем сделать некоторые общие предположения о вероятностной
интуиции.
Я не буду обсуждать, насколько постановка задачи соответствует
реальности (в моём журнале прошла довольно оживлённая дискуссия об
этом). Будем оставаться в рамках предложенной модели. Дальнейшие
рассуждения похожи на рассуждения p_govorun, но чуть более
аккуратны.
Пусть сначала вероятность отказа p мала. Тогда почти все самолёты долетают без аварий. Авария - редкое явление, флуктуация. Чем меньше моторов, тем более поведение каждого конкретного самолёта отклоняется от "среднего", т.е. тем больше вероятность флуктуации. Поэтому четырёхмоторные самолёты безопаснее.
Пусть теперь вероятность p велика. Тогда полёт на самолёте превращается в самоубийственный трюк: почти все самолёты разбиваются. Уже отсутствие аварии является флуктуацией. Чем меньше моторов, тем больше вероятность такой флуктуации. Поэтому двухмоторные самолёты безопаснее.
Дальше, если при малых p безопаснее четырехмоторный самолёт, а при больших - двухмоторный, то должна существовать некоторая пограничная вероятность p0 такая, что при p=p0 вероятности аварии равны. Можно представить себе несколько таких точек, но непонятно, почему разность между вероятностями аварий двух- и четырехмоторного самолёта как функция p немонотонна, поэтому интуиция подсказывает, что такая точка только одна. Разумеется, точное значение p0=1/3 таким способом получить нельзя, но ясно, что это что-то порядка 0.5. Более того, из этих рассуждений понятно, что для любого n существует величина p0(n) такая, что при p<p0(n) самолёт с 2n+2 моторами безопаснее самолёта с 2n моторами, а при p>p0(n) - наоборот. При росте n эта величина p0(n) должна стремиться к 0.5.
Насколько наши рассуждения интуитивны? Нетрудно понять, что они основаны на принципе, который я буду называть нестрогим законом больших чисел. А именно, если поведение системы зависит от большого числа повторяющихся однотипных событий, то чем больше событий, тем ближе поведение системы к среднему (точнее, тем меньше относительное отклонение от среднего поведения: абсолютное отклонение, как известно, растёт). Интуитивен ли этот принцип, для самой формулировки которого мне пришлось написать длиннющее предложение? Дело в том, что это - основной (и часто непроговариваемый) принцип науки. Мы хотим основывать наши рассуждения на повторяемых и проверяемых экспериментах; повторяемость тут равносильна нестрогому закону больших чисел. При некоторой фантазии можно утверждать, что известная фраза "Семь раз отмерь - один отрежь" тоже имеет отношение к этому принципу: она предполагает, что результаты семикратного измерения надёжнее, чем результаты однократного.
Источником интуиции является опыт (у Анри Пуанкаре есть очень интересные рассуждения, как опыт пространственных ощущений приводит к интуитивному пониманию трехмерного пространства). Источником интуитивного понимания нестрогого закона больших чисел является, очевидно, опыт обращения с сериями повторяющихся явлений. Фрэзер, говоря о ритуалах, связанных со сменой сезонов, отмечает, что для дикаря каждый день непохож на предыдущий; повторяемость сезонов требует уже некоторой рефлексии. Возможно, именно этот переход от уникальности каждого ощущения к опыту повторяющихся событий и связан с переходом от магии к науки, о котором мы говорили недавно.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2006-01-23 06:33 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 07:41 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 10:36 am (UTC)Тогда получается, что двухмоторный самолет всегда надежнее независимо от вероятности отказа двигателя. Если все исходы равновероятны, то для двухмоторного откажет либо первый, либо второй, либо оба, либо ни один. То есть самолет падает в одном случае из четырех = 1/4 = 4/16, а четырехмоторный в 5-ти из 16-ти, 5/16 > 4/16.
no subject
Date: 2006-01-23 11:26 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 11:46 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 12:16 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 12:40 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 02:12 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 12:42 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 12:46 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 05:03 pm (UTC)шфизик, согласен сno subject
Date: 2006-01-23 08:52 am (UTC)Для двухмоторного -- отказ двух двигателей: p2.
Для четырехмоторного -- отказ ровно четырех двигателей (p4) или отказ ровно трех (4p3(1-p)), итого: p4+4p3(1-p).
no subject
Date: 2006-01-23 10:40 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 11:23 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 12:14 pm (UTC)4p3(1-p) -- это вероятность наступления ровно трех событий в серии из 4 независимых однотипных испытаний. Отказ 3 двигателей может произойти 4 способами:
1) - - - + (первый, второй и третий двигатели отказали, четвертый работает)
2) - - + -
3) - + - -
4) + - - -
Вероятности каждого из этих исходов: p3(1-p)
Собственно, лучше учебник полистать...
no subject
Date: 2006-01-23 12:44 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 02:21 pm (UTC)Добавлю следующее: брать и перемножать вероятности "просто так" мы не имеем права. Когда перемножаем вероятности, то неявно пользуемся формулой умножения для независимых событий (т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей).
Когда Вы пишете p3 якобы в качестве вероятности отказа трех двигателей, то никакого произведения событий за этим произведением вероятностей реально не стоит. Чему соответствует это "произведение трех раз по p"? Ничему...
Если под Ak будем понимать событие, заключающееся в отказе k-го двигателя, то событие "отказало не менее трех двигателей" является суммой пяти событий:
A1A2A3A4 + A1A2A3(не A4) + A1A2(не A3)A4 + A1(не A2)A3A4 + (не A1)A2A3A4
Так как события попарно несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей. Вероятность первого из этих событий равна (по формуле произведения) p4, вероятности каждого из оставшихся четырех событий равны p3(1-p). Отсюда получаем и итог.
no subject
Date: 2006-01-23 06:54 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 08:21 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 08:28 am (UTC)я рассуждала так:
первое, что пришло в голову - действительно, где больше моторов, тем надёжнее ес-но, а потом подумала, что по идее двухмоторный самолёт д.б. легче (представился вообще кукурузник какоё-нть... вот такие мои представления о самолётах :) ), значит шансов его приземлить после отказа половины моторов на чуть-чуть, но больше...
вот...
no subject
Date: 2006-01-23 09:38 am (UTC)в данном случае все может быть гораздо хитрее: человек ПОДСОЗНАТЕЛЬНО спроецировал на задачу реальный мир (математики не в счет =) и даже не успел отдать себе в этом отчет: что в реальном мире вероятности отказа двигателей пассажирских самолетов колеблются в районе тысячных и тысячных. и человек ничего не считая (я например) - чувственно (вспышка в сознании) говорит: "на 4ех - лучше". и - вуаля - оказывается человек в целом интуитивно дал правильный ответ, приняв (неявно) предпосылку, что p - мало. так что не все так просто. наше подсознание рулит.
обычный человек не обладает способностью В ПОДСОЗНАНИИ рассматривать "пусть p мало..", "пусть p велико.."
так что =))))))))
no subject
Date: 2006-01-23 11:11 am (UTC)ИМХО это просто популяризация для "чайников", созданная специалистом.
no subject
Date: 2006-01-23 07:19 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 08:16 pm (UTC)У человека без специальной подготовки - одна интуиция, у тренированного специалиста -- совсем другая, и часто логическую цепочку мы строим, предварительно угадав ответ :)
no subject
Date: 2006-01-23 08:25 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 12:07 pm (UTC)Дальше. "Большие числа". Я знаю немало людей, для которых интуитивно миллион или миллиард или триллион - одно и то же. Много.
Дальше. Почему опыт не даёт вероятностной интуиции? Да нет, даёт кое-какую - если не менять ансамбль. (Почему кое-какую - потому что (проверьте!) невероятно силён феномен wishful thinking: отбрасывания из памяти того, что не удовлетворяет сложившейся "теории"). Но если сформулировать задачу на другом ансамбле, получается пшик. Хуже: нет интуиции, что вообще нужен ансабмль, что вероятности без ансамбля нет. (Отсюда "вероятность единичного события", как правило, понимаемого говорящим отнюдь не как вероятность на ансамбле, а как-то ... так...). И ещё хуже: подавляюшее большинство не изучавших или не читавших что-нибудь популярное просто не знают и не верят, что вероятность следующего независимого события не зависит от уже случившихся. Порасспрашивайте. На этом, собственно, и основана страсть к игре.
Я готов признать, что мой пример не самый удачный - но никто пока что не предложил лучшего, а набор комментов, по-моему, подтверждает, что и он годится.
no subject
Date: 2006-01-23 12:44 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 07:31 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 02:37 pm (UTC)это если вероятности известны заранее. А если они и оцениваются по ходу дела из уже имеющихся исходов, то интуиция дает правильный ответ :)
no subject
Date: 2006-01-23 02:44 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 03:08 pm (UTC)А если брать "игру с природой" из жизни? Если я нашел грибы в каком-то месте или рыба где-то хорошо клевала, то второй раз я пойду туда же, и в этом есть смысл. Хотя до начала игры субъективные вероятности "распеделены равномерно". Ошибкой является перенос этой логики на рулетку. Так интуиция на то и интуиция, чтобы иногда ошибаться :)
no subject
Date: 2006-01-23 03:17 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 03:46 pm (UTC)Так же и игрок в рулетку собирает информацию. И когда пять раз подряд выпадает красное, он задумывается: продолжать ли верить в то, что исходы равновероятны или рулетка кривая (см. Джек Лондон)? Или крупье жульничает?
no subject
Date: 2006-01-23 08:24 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 08:31 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 07:34 pm (UTC)Это утверждение и есть образец вероятностной интуиции
no subject
Date: 2006-01-23 07:38 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 08:19 pm (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 07:28 pm (UTC)Большие числа люди воспринимают плохо, это верно. Но это уже о другом.
Что касается вероятности без ансамбля - ну ведь колмогоровское определение (черз меру) ансамбля не требует. Другое дело, что не совсем очевидно, какое отношение имеет эта вероятность к тому, что под вероятностью подимает физик.
no subject
Date: 2006-01-23 07:33 pm (UTC)Hear, hear! Я, правда, подозреваю, что там тоже можно ввести понятие какого-нибудь недискретного ансамбля, но это я так, с потолка.
no subject
Date: 2006-01-23 09:18 pm (UTC)Некорректным я считаю предложение задачи, решение которой зависит от параметра (тем более, дробного). Естественно, при интуитивном решении люди неосознанно стремятся привлечь дополнительные данные из личного опыта. Те, кто считает авиамоторы надёжными штуками, выбирают первое решение, те же, кто считает их ненадёжными штуками, выбирают второе. И оба правильны!
Если вы не согласны - предложите пример любой интуитивно решаемой задачи сравнимой сложности, решение которой зависит от дробного параметра.
no subject
Date: 2006-01-24 07:39 am (UTC)Ну да, конечно, дробным числам всего-то около 2 с половиной тысяч лет...
no subject
Date: 2006-01-24 12:09 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-24 07:45 am (UTC)no subject
Date: 2006-01-23 07:25 pm (UTC)Интуиция такого рода типична для людей естественно-научного склада ума. (такая качественная проверка правильности ответа, на самом деле). Для остальных такие вещи --- пустой звук.
В книжке Секея "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" (http://lib.mexmat.ru/books/136) приводится полно такого рода примеров и объяснений, как можно увязать интуицию с выкладками. Но интуиция --- это же то, что приходит в голову сразу, без выкладок, и она нас подводит иногда.
Когда мне эту загадку задали, я не мог дать ответа с ходу, потребовалась минута, чтобы написать ответ и некоторые прикидки потом вроде приведённых здесь, чтобы убедить свою интуицию, что он правильный.
no subject
Date: 2006-01-23 10:13 pm (UTC)Сначала у меня мелькнули именно те рассуждения, что вы описываете. Но потом мне показалось, что они неверны - когда я стал представлять себе самолет, я представил отказавшей конкретную пару двигателей. (И проверяя ответ, я уже думал, что четырехмоторный лучше всегда). В том-то и беда с вероятностной интуицией - чтобы она работала, нужно уметь хорошо представлять себе много исходов одновременно :) Нужна долгая тренировка :)
no subject
Date: 2006-01-23 10:52 pm (UTC)На мой взгляд, задача неудачно сформулирована. В реальном случае вполне очевидно, что отказы неодновременны, что события не являются независимыми и т.д. Интуиция решает другую задачу более реальную, но более сложную.
Предлагаю иной вариант. Нужно осветить комнату так, чтобы мощность освещения составляла не менее 100 Вт. У нас люстры на 200 Вт - на 2 лампочки по 100 Вт, на 4 - по 50 Вт, на 8 - по 25 Вт и т.д.
Лампочки плохие и запасных нет. При какой надежности лампочек какую люстру Вы выберете?
И, на мой взгляд, в этой задаче интуииция срабатывает. Или мне так кажется?
no subject
Date: 2006-02-05 09:29 pm (UTC)Я бы ответила, что лучше лететь 2-моторным, потому что чем машина сложнее, тем легче она ломается.
Но в целом это совершенно неважно.