Детерминизм и принцип экономии

[scholar_vit]

Вообще-то я люблю это студентам рассказывать. А в дискуссии у ivanov_petrov к слову пришлось:

У принципа экономии есть очень глубокая подоплёка.

В классической механике (и теории поля, включая электродинамику Максвелла и Эйнштейновские специальную и общую теории относительности) всё можно вывести из принципа наименьшего действия. Есть некоторый функционал, который минимизируется вдоль траектории системы. Это же справедливо для классической термодинамики, только функционал чуть другой.

Причина в том, что эти теории - детерминистические. Если знать начальное состояние системы, можно предсказать её поведение. Значит, есть некая траектория, которая выделена, отличается от всех возможных траекторий тем, что реализуется именно она, а остальные -- нет. С математической точки зрения это значит, что есть некая функция, которая минимальна вдоль истинной траектории.

Как только мы вводим квантовую механику и неопределённость (или сокращённое описание в статистической физике), выделенная траектория исчезает: система может выбрать любой из множества путей. Но принцип наименьшего действия не исчезает совсем: система выбирает пути с разной вероятностью. Поэтому функционал, который определял единственную траекторию системы в детерминистической теории, теперь определяет вероятность виртуальной траектории: чем он меньше, тем больше вероятность. А детерминистическая теория становится частным случаем общей теории. Этот случай соответствует ситуации, когда всеми траекториями, кроме одной, можно пренебречь. Такая штука называется теоремой эйконала и появляется в разных обличьях в оптике, квантовой механике, статистической физике.

Сопоставление этого с ситуацией в "soft sciences" оставляется читателю в качестве упражнения.

Comments

[bgmt.livejournal.com]

Ну да, конечно, но что тут нового? Это все ж таки известно уже с 50х годов - или когда появился функциональный формализм? А насчет soft sciences как-то оно не очень применимо. Потому как ансамбель нужен.

[scholar-vit.livejournal.com]

Я вовсе не утверждаю, что это ново. Это пересказ того, что мне мои преподаватели рассказывали в 1980-е, и уже тогда это было вполне общеизвестно.

А ансамбль очень часто бывает. В той же лингвистике, с которой разговор начался: у каждого в голове язык чуть по-своему формируется -- чем не ансамбль?

[scholar-vit.livejournal.com]

Кстати, под 50-ми годами надо, наверное, понимать 1850-е. Или даже раньше. Классики такие вещи вполне понимали, и оптико-механическая аналогия была замечена очень давно. Так что когда появилась квантовая механика, кусочек мозаики просто встал на давно отведенное место.

[avva.livejournal.com]

Формулировка механики через принцип наименьшего действия всегда казалось мне невероятно красивой и важной штукой, с того дня, как я впервые прочёл формулировку в Ландау-Лившице (очень далеко я там не продвинулся, и вообще в физике остался профаном, но это уже другой вопрос).

[scholar-vit.livejournal.com]

Да, это невероятно красивая штука. Я не мог уснуть ночью, когда (студентом) это прочел впервые.

[ex-bulatych796.livejournal.com]

Да, как чёрно-белая фотография (без полутонов) - это частный случай цветной.

[mikev.livejournal.com]

В физике вариационные принципы все-таки выводятся из динамики. (Кроме "Механики" Ландавшица, где логика изложения мало связана с исторической логикой развития физики). То есть, чтобы понять, что именно надо минимизировать, нужно все-таки динамику изучать. И без такого изучения заранее предсказать, что это будет - действие, оптический путь или время поиска - невозможно.