Два варианта математического анекдота

[scholar_vit]

Сын рассказал новый вариант старого американского анекдота. Он прочел его на каком-то сайте, так что на авторство ни я, ни он не претендуем.

Вначале старый вариант. Два математика в ресторане спорят: один говорит, что публика ничего не знает о математике, второй ему возражает. Затем первый выходит в туалет, а второй подзывает официантку: "Когда вернётся мой приятель, я задам вам вопрос. Неважно, что я спрошу, отвечайте 'икс куб на три'. Вот вам $10 за беспокойство". Когда первый вернулся, второй сказал: "Да что там, даже официантки в кафе умеют интегрировать. Вот смотри, -- и, позвав официантку, спросил. -- Скажите, сколько будет интеграл от икс квадрат де икс?" "Икс куб на три," -- ответила официантка.

Потом добавила: "Плюс константа".

В новом варианте в туалет ушел оптимист. А пессимист, соответственно, подозвал официантку, предложил ей десятку и попросил сказать: "А в квадрате плюс б в квадрате". Ну, возвратился оптимист, пессимист подзывает официантку и спрашивает: "Сколько будет квадрат суммы а и б?" "А в квадрате плюс б в квадрате," -- отвечает официантка.

Потом добавляет: "Если а и б антикоммутируют".

Comments

[ygam.livejournal.com]

Например, dx и dy в интегральном исчислении многих переменных. Интеграл по dx dy = - интегралу по dy dx.

[vryadli.livejournal.com]

Это в какой метрике такое бывает?

[ygam.livejournal.com]

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form

[vryadli.livejournal.com]

И где же там, миль пардон, говлрится о приведенном Вами соотношении? О том, что от перемены мест слагаемых тридционного сложения менятся знак суммы, там ничего не сказано. Там, конечно, говорится про якобиан, возинкающий при переходе к новому набору перменных интегрирования, но ничего сравнимого по радикальности с Вашим утверждением я там не обнаружил.

[ygam.livejournal.com]

Там не слагаемые, а множители. При перемене мест множителей в дифференциальной форме действительно меняется знак произведения. Для того, чтобы dx и dy в интегралах были не условными обозначениями, а полноправными математическими объектами, нужно ввести понятие дифференциальной формы. Умножение таких форм антикоммутативно. Об этом рассказывается в книжке A Course in Mathematics for Students of Physics Бамберга и Штернберга, которую я прочитал лет 16 назад.

[ygam.livejournal.com]

Собственно, вот иллюстрация. Представьте себе поток жидкости через поверхность. Этот поток либо положительный, либо отрицательный в каждой точке поверхности, согласно правилу левой руки (или правой руки - забыл) с векторами dx, dy и скорости жидкости. Теперь переставим местами оси икс и игрек - если бы произведение dx и dy было коммутативным, то поток изменил бы знак, так как левая рука превратилась бы в правую, и наоборот. Для того, чтобы поток не поменял знак, нужно, чтобы произведение было антикоммутативным.

[vryadli.livejournal.com]

А! Если вы определяете элемент поверхности как аксиальный вектор. Ну, соответсвенно обобщая на более высокие размерности. Но при более примитивном определении интеграла, как предела суммы произведений функции на скалярный объем такого ведь не будет. Это более примитивное опредление каким-то образом некорректно?

[scholar-vit.livejournal.com]

В "примитивном" определении - скалярный ориентированный объем: интеграл от a до b равен минус интегралу от b до a. Ориентированный объем, аккуратно определенный, и дает правила для элемента поверхности как дифференциальной формы.

[vryadli.livejournal.com]

Я понимаю, как это работает, но не могу сходу сообразить, можно ли корректно обойтись скалярным объемом. Скажем, когда я считаю момент инерции, я просто пишу dV , мыслю его как скаляр и все прекрасно работает. Если я считаю поток в сколько-то мерном простарнстве и имею в виду теорему Стокса - то, разумеется удобней сразу ввести тензорный объем. Вопрос - это для удобства и-или красоты или есть фундаментальные причины?

[scholar-vit.livejournal.com]

Да. Фундаментальная причина в том, что единственная дифференциальная форма n-го ранга в n-мерном пространстве - скаляр. То есть обьём всегда скалярен. А поверхность - нет.

То есть n-мерный объём в n-мерном пространстве ("обычный" объем в 3-мерном, плщадь в 2-мерном и т.д.)

[vryadli.livejournal.com]

Да, понятно, спасибо.

[ygam.livejournal.com]

Ага, точно!

[ygam.livejournal.com]

Объем - это dx dy dz; dx dy - это площадь. Если мы умножаем средний поток через кусочек поверхности на площадь этого кусочка, мы должны определиться со знаками: жидкость втекает через поверхность или вытекает?

[vryadli.livejournal.com]

Я знаю теорему Стокса и наверно даже доказать еще смогу - со строгостью принятой в учебниках Кудрявцева или Куранта. Правда, лет 10-12 как не пользовался. Я не спорю, а просто вспоминаю, что в Ландавшице, наряду с местами где объем ориентированый полно мест, где при перемене порядка интегрироваиня авторы и не думают менять знак. Я еще подумаю на досуге - они там просто халявят или право имеют.

[ygam.livejournal.com]

Я сто лет не читал Ландау-Лифшица (прошел только первые два тома), но вообще у вышеупомянутых Бамберга и Штернберга даются уравнения Максвелла в дифференциальных формах, и еще есть книжка по ОТО, кажется, Вальд, где они применяются.

[vryadli.livejournal.com]

Спасибо. Думаю, насчет интеграла все стало в достаточной степени поянтно.

[vryadli.livejournal.com]

Конечно - в электродинамике и гидродинамике это сплошь. ОТО в том же томе-разделе, что и электродинамика (классическая теория поля). А когда сечения в квантах считают то обсуждемыми знаками не не заморачиваются. Ну, Вит сформулировал с чем это связано - размерность объема интегрирования равна размерности пространства.

В общем, совсем без метрики не обошлось.