Там не слагаемые, а множители. При перемене мест множителей в дифференциальной форме действительно меняется знак произведения. Для того, чтобы dx и dy в интегралах были не условными обозначениями, а полноправными математическими объектами, нужно ввести понятие дифференциальной формы. Умножение таких форм антикоммутативно. Об этом рассказывается в книжке A Course in Mathematics for Students of Physics Бамберга и Штернберга, которую я прочитал лет 16 назад.