scholar_vit: (Default)
http://www.ams.org/news?news_id=3305

AMS Board of Trustees Opposes Executive Order on Immigration
Monday January 30th 2017

Providence, RI: The members of the Board of Trustees of the American Mathematical Society wish to express their opposition to the Executive Order signed by President Trump that temporarily suspends immigration benefits to citizens of seven nations.

For many years, mathematical sciences in the USA have profited enormously from unfettered contact with colleagues from all over the world. The United States has been a destination of choice for international students who wish to study mathematics; the US annually hosts hundreds of conferences attracting global participation. Our nation’s position of leadership in mathematics depends critically upon open scientific borders. By threatening these borders, the Executive Order will do irreparable damage to the mathematical enterprise of the United States.

We urge our colleagues to support efforts to maintain the international collegiality, openness, and exchange that strengthens the vitality of the mathematics community, to the benefit of everyone.

We have all signed the online petition of academics opposing the ban. We encourage our colleagues to consider joining us in signing it and in asking the Administration to rescind the Executive Order.

Robert Bryant, President of the AMS
Kenneth Ribet, President-Elect of the AMS
Ruth Charney
Ralph Cohen
Jane Hawkins
Bryna Kra
Robert Lazarsfeld
Zbigniew Nitecki
Joseph Silverman
Karen Vogtmann

Contacts: Mike Breen and Annette Emerson
Public Awareness Officers
American Mathematical Society
201 Charles Street
Providence, RI 02904
401-455-4000
Email the Public Awareness Office

###

Founded in 1888 to further mathematical research and scholarship, today the American Mathematical Society fulfills its mission through programs and services that promote mathematical research and its uses, strengthen mathematical education, and foster awareness and appreciation of mathematics and its connections to other disciplines and to everyday life.
scholar_vit: (knot)

Спальни у нас на втором этаже. Когда я поднимаюсь по лестнице, наша кошка, обгоняя меня, взбегает вверх, выходит на площадку и просовывает морду между прутьев перил, чтобы я ее погладил за ухом. Такой ежевечерний ритуал.

Вчера кошка, не дождавшись меня, уснула на втором этаже. Звук моих шагов ее разбудил. Она стремглав побежала вниз на первый этаж, потом тут же наверх и просунула морду для поглаживания.

Как настоящий математик, она свела задачу к уже решенной.

scholar_vit: (knot)

В русскоязычной блогосфере опять обсуждают Парето и монетизацию льгот. Я ни в коей мере не специалист, но мне со стороны забавно, как раз за разом делается неявное допущение, которое (1) верно далеко не всегда, и (2) в конкретном примере, который в данном случае приводится, очевидно неверно. Причем очевидно даже для такого неспециалиста, как я.

Напомню рассуждение. Пусть по университетскому кампусу ездит бесплатный автобусик. На самом деле бесплатных пирожных не бывает, и каждый студент и сотрудник на самом деле платит за проезд (т.е. с одних берут чуть больше за обучение, а другим недоплачивают зарплату) некоторую сумму X. Давайте сделаем автобус платным, а всем студентам и сотрудникам раздадим эту сумму X. Тогда те, кто хотят, потратят ее на проезд, и их положение не ухудшится. А те, кто хотят, пойдут пешком, а на вырученные деньги посидят в кафе, и их положение улучшится: предполагается, что они знают, что им лучше, кафе или автобус. Следовательно, от монетизации никому не станет хуже, а кому-то станет лучше, что и требовалось доказать.

Проблема в том, что тут неявно предполагается, что все взаимодействия парные, и, в частности, стоимость проезда пассажира A никак не зависит от того, поехал ли этим автобусом пассажир B. Это, однако, очевидно не так: затраты на поездку автобуса мало зависят от количества пассажиров (говоря учеными словами, маргинальная стоимость перевозки одного пассажира близка к нулю). Если мы раздадим стоимость проезда участникам, и часть пассажиров не отдаст их за проезд, стоимость проезда для каждого из остальных будет уже не X, а больше. Поэтому для того, чтобы перевозчик не разорился, он будет вынужден брать за проезд больше, чем X. Таким образом положение тех, кто ездит на автобусике, ухудшится: они потратят на проезд больше, чем получили в качестве компенсации отмены бесплатного автобусика. (Кое-какие диспутанты это понимают и переходят к моральным доводам: разными способами объясняется, что ухудшение положения "паразитов на автобусе" полезно для всеобщей нравственности. Такой переход, надо сказать, несколько подрывает аргументы об объективной истинности математического доказательства Парето-оптимальности).

Играя с параметрами, можно придумать массу сценариев. Например, death spiral: из-за повышения платы за проезд часть пассажиров, которые были готовы отдать за проезд X, теперь пойдут пешком, что приведет к еще большему повышению платы за проезд, и так далее до полной отмены автобусика. Дальше, для любой сколько угодной малой доли пассажиров можно подобрать параметры так, чтобы положение всех, кроме этой доли, после монетизации льгот ухудшилось. А если мы чуть усложним модель: теперь пассажир принимает не бинарное решение (всегда автобус или всегда кафе), а руководствуется, например, погодой (в дождь еду на автобусе, в вёдро иду пешком), то можно подобрать параметры так, чтобы положение всех участников игры в результате монетизации ухудшилось.

Математические рассуждения, конечно, штука полезная. Но не следует забывать, что они относятся к модели, а не к реальной действительности. Вопрос, насколько эта модель хороша, часто куда сложнее самой модели.

scholar_vit: (knot)
И опять прекрасный комикс у smbc:

scholar_vit: (knot)

Использование векторной алгебры позволяет многие задачи синтетической геометрии решать "автоматически". Вместо нетривиальных рассуждений ad hoc мы тупо пишем уравнения, упрощаем и получаем ответ. Что, возможно, и не так красиво, зато эффективно. Аналогично можно сравнить школьную алгебру и школьную арифметику образца 19 века (последнюю уже и не преподают толком в обычной школе: зачем, если все эти задачи про купцов и цыбики чая значительно упрощаются с введением иксов и игреков?).

Мне иногда кажется, что применение теоремы Байеса позволяет аналогичным образом "автоматизировать" многие задачи элементарной теории вероятностей. В качестве иллюстрации я приведу два решения одной задачи: классическое и байесовское.

Задача взята в фейсбуке Кости Кнопа; так как в комментариях уже есть ответы, я позволю себе привести тут решение - точнее, два решения.

Задача

Два мальчика (логическая задача)

Вы наверняка слыхали про вероятностную задачу "У мистера Брауна два ребенка, хотя бы один из них мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка - мальчики". Классика. Ответ в ней 1/3, если вдруг кто позабыл. [Для дотошных и въедливых. Рассматриваются все семьи с двумя детьми, среди которых есть хотя бы один мальчик. Какую долю из них составляют семьи с двумя мальчиками?]

А теперь - намного менее известная вариация (придуманная 3-4 года назад). "У мистера Грина два ребенка. Один из них - мальчик, родившийся в среду. Какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?"

При решении этой задачи вероятность рождения детей в каждый день недели следует считать одинаковой, вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми, рождением близнецов пренебречь и т.п. В общем - чистая логика и чистый теорвер.

Прежде чем решать, попробуйте прикинуть ответ, а потом сравните свою прикидку с ответом, полученным вами в результате вычислений. Ну и поделитесь результатами прикидок, пожалуйста.

Я буду рассматривать ниже "неделю" из k дней. При k=1 мы получаем задачу про мистера Брауна, при k=7 - про мистера Грина, при k=365 - задачу "По крайней мере один из детей мистера Блю - мальчик, рожденный 1 апреля".

Классическое решение

Подсчитаем сначала вероятность того, что в семье есть девочка.

Пусть в мальчик, родившийся в среду - старший ребенок. Тогда для второго ребенка у нас 2k вариантов (мальчик родился в понедельник, девочка родилась в понедельник, мальчик родился во вторник...), из них k - девочки. Аналогично мы имеем 2k и k вариантов для старшего ребенка, если мальчик, родившийся в среду - младший. На первый взгляд кажется, что вероятность девочки (k+k)/(2k+2k). Но на самом деле мы в знаменателе один вариант подсчитали дважды: когда в семье два мальчика, и при этом каждый родился в среду. Поэтому истинная вероятность того, что в семье есть девочка, (k+k)/(2k+2k-1) = 2k/(4k-1). Значит, вероятность того, что оба ребенка - мальчики, 1-2k/(4k-1) = (2k-1)/(4k-1). При k=1 это 1/3, при k=7 это 13/27, а в пределе при большом k получается 1/2.

Байесовское решение

Я слегка переформулирую задачу в духе байесовского подхода. У нас есть прибор, который чувствует мальчиков по запаху, но плохо. Если к прибору подходит мальчик, то лампочка прибора загорается с вероятностью 1/k (и уже не тухнет, пока ее не выключить). Когда к прибору подошли два ребенка Гринов, лампочка загорелась, но мы не успели заметить, после какого именно ребенка это произошло. Какова апостериорная вероятность того, что они оба - мальчики?

Пусть событие M2 - то, что у Гринов два мальчика, а событие L - то, что лампочка загорелась. Тогда теорема Байеса говорит, что P(M2|L) = P(L|M2)P(M2)/P(L).

Априорная вероятность того, что оба ребенка - мальчики, P(M2)=1/4. Если известно, что ребенок - мальчик, то лампочка, когда он подойдет к прибору, не загорится с вероятностью 1-1/k, а если пол неизвестен, то с вероятностью 1-1/(2k). Отсюда P(L) = 1 - [1-1/(2k)]^2, P(L|M2) = 1 - (1-1/k)^2. После простых преобразований получаем P(L|M2) = (2k-1)/(4k-1).

Только ли мне кажется, что первое решение красивее, но второе эффективнее и в чем-то проще? И верно ли, что в преподавании теории вероятностей педагогически правильно как можно раньше вводить байесовский подход?

scholar_vit: (knot)

В New York Times обсуждаются результаты недавнего тестирования среди взрослого населения развитых стран. Методика аналогична известным тестам PISA; подробности см. на сайте PIAAC.

Авторы огорчаются низкому уровню, показанному США. Однако рисунок, приводимый в статье, может быть интересен и россиянам. Ниже - уровень владения математикой среди выпускников вузов в возрасте до 29 лет.

Read more... )
scholar_vit: (Default)

Сын подарил на Father's Day бутылку Клейна, которую делает замечательный Клиффорд Столл. Ниже его лекция: посмотрите, не пожалеете!

Кстати, сын написал на открытке "Pozdravlyayu" латинницей; Столл распознал язык и аккуратно перевел в кириллицу.

scholar_vit: (Default)

Во френдленте обсуждаются «книги, содержащие всю необходимую для жизни информацию» («список аббата Фариа»). Автор ([livejournal.com profile] varana) и комментаторы приходят к выводу, что это могут быть и «плохие» с точки зрения литературы книги.

Можно задать вопрос иначе: посмотрим на книги, которые «перевернули жизнь». Способны ли на это «плохие» книги?

Харди в «Апологии математика» рассказывает, как он выбрал профессию (глава 29). Вот этот отрывок в моем (неотделанном) переводе. Примечания автора.

Read more... )
scholar_vit: (Default)

Герой Джека Лондона Смок Беллью сумел победить рулетку в салуне "Олений рог". Старое колесо рассохлось, и движения шарика стали предсказуемыми. Смок выиграл сорок пять тысяч долларов, а потом владельцы игорных домов города заплатили ему тридцать тысяч за "систему" - и очень обрадовались, узнав, что "никакой системы не существует", и за другим столом Смок "не выиграл бы и кислого яблока".

Я вспомнил этот эпизод, когда сын прислал мне ссылку на статью в Wired. Read more... )

scholar_vit: (Default)

Загадочный сон. Журнал под названием "Журнал экспрессивной математики". Жесткие правила: запрещены любые рисунки, уравнения или буквенные обозначения. Нельзя сказать "число a" или "подгруппа G'" - разрешены только описательные предложения вроде "число, которое мы ввели сначала" или "подгруппа группы, о которой идет речь". По мнению редакции, это ведет к улучшению слога статей. Почему-то запрещены также библиографические списки: опять только описательное "как доказал Джон Смит в статье, опубликованной в 1992 году в Journal of the American Mathematical Society..."

Я готовлю чью-то статью к публикации в этом журнале. Ужасно мучительная работа.

scholar_vit: (Default)

Пожалуй, мне следовало заскринить комментарии в задаче про пиратов: [livejournal.com profile] bazar_wokzal и [livejournal.com profile] rioman почти мгновенно её решили. Ответ такой: Read more... )

scholar_vit: (Default)

Сын прислал задачку, которую нашел на каком-то сайте. Итак, n пиратов делят m золотых монет, m > n. У каждого пирата есть ранг, причем у всех пиратов они разные. Дележ происходит так. Старший по рангу предлагает вариант, после чего все голосуют. Предложение принимают простым большинством голосов (если голоса разделятся пополам, предложение проходит). Если предложение не проходит, его автора выкидывают за борт (в более мягком варианте - отстраняют от дележа), и следующий по рангу предлагает свой вариант на тех же условиях.

Пираты озабочены только максимизацией собственной прибыли, действуют рационально и являются прекрасными математиками. Более того, каждый знает, что остальные такие же.

Как должен действовать капитан, чтобы получить максимум монет?

Update: Ответ.

Комментарии не скринятся.

scholar_vit: (Default)

Сын рассказал новый вариант старого американского анекдота. Он прочел его на каком-то сайте, так что на авторство ни я, ни он не претендуем.

Вначале старый вариант. Два математика в ресторане спорят: один говорит, что публика ничего не знает о математике, второй ему возражает. Затем первый выходит в туалет, а второй подзывает официантку: "Когда вернётся мой приятель, я задам вам вопрос. Неважно, что я спрошу, отвечайте 'икс куб на три'. Вот вам $10 за беспокойство". Когда первый вернулся, второй сказал: "Да что там, даже официантки в кафе умеют интегрировать. Вот смотри, -- и, позвав официантку, спросил. -- Скажите, сколько будет интеграл от икс квадрат де икс?" "Икс куб на три," -- ответила официантка.

Потом добавила: "Плюс константа".

В новом варианте в туалет ушел оптимист. А пессимист, соответственно, подозвал официантку, предложил ей десятку и попросил сказать: "А в квадрате плюс б в квадрате". Ну, возвратился оптимист, пессимист подзывает официантку и спрашивает: "Сколько будет квадрат суммы а и б?" "А в квадрате плюс б в квадрате," -- отвечает официантка.

Потом добавляет: "Если а и б антикоммутируют".

scholar_vit: (Default)

Есть вещи, учиться которым надо начинать в детстве. В зрелом возрасте можно продолжать совершенствоваться, даже достичь значительных результатов - но фундамент должен быть заложен рано. К таким вещам относятся музыка и шахматы. А ещё - математика. Очень мало людей, не занимавшихся математикой в детстве или в крайнем случае в юности, и ставших профессиональными математиками. Это правило иллюстрирует история со знаменитым философом Томасом Гоббсом. Об этой истории написал Джон Обри в своей книге "Краткие биографии", а я узнал о ней из статьи Brian Hayer, Foolproof, American Scientist, vol. 95, pp. 10--15, 2007.

Так получилось, что Гоббс не встречался с геометрией до сорока лет. В этом возрасте он случайно наткнулся в библиотеке клуба на том Евклида. Том был открыт на теореме Пифагора. Гоббс прочёл теорему и воскликнул: "Черт подери! Но это невозможно!" (как замечает Обри, он время от времени крепко выражался). Гоббс прочёл доказательство - оно ссылалось на другие теоремы. Он прочёл и их доказательства и т.д. Так он в обратном порядке дошёл до аксиом и убедился, что Пифагор был прав.

В результате Гоббс увлёкся геометрией. К сожалению, геометрия не отплатила ему взаимностью. Read more... )

Profile

scholar_vit: (Default)
scholar_vit

August 2017

S M T W T F S
  12345
67 8 9 1011 12
1314 1516171819
2021 2223242526
2728293031  

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Aug. 22nd, 2017 10:35 pm
Powered by Dreamwidth Studios